Question

已知方程mx²-2（m+3）x+12=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：对任意不为零的实数m，方程总有两个实根．
（2）若方程的两根均为整数，且有一根大于2，求满足条件的整数m的值．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：（1）计算△的表达式，得到完全平方式即可证明；
（2）根据根与系数的关系，列出x₁•x₂=

12

m

，再进行试解．

解答：解：（1）∵△=[-2（m+3）]²-4m•12
=4（m+3）²-48m
=4（m²+6m+9）-48m
=4m²-24m+36
=4（m²-6m）+36
=4（m²-6m+9-9）+36
=4（m-3）²≥0，
∴对任意不为零的实数m，方程总有两个实根．
（2）设方程两根为x₁，x₂，
∵x₁•x₂=

12

m

，
∵有一根大于2，
故①令x₂=3，此时，x₁=

4

m

，m值可为±1，±2，±4；
②令x₂=4，此时，x₁=

3

m

，m值可为±1，±2，±3；
③令x₂=6，此时，x₁=

2

m

，m值可为±1，±2；
④令x₂=12，此时，x₁=

1

m

，m值可为±1．
故m值可为±1，±2，±4．

点评：本题考查了根的判别式，要灵活运用，同时要熟悉根与系数的关系．