Question

23、操作示例：
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．
从拼接的过程容易得到结论：
①四边形BNED是正方形；
②S_{正方形ABCD}+S_{正方形EFGH}=S_{正方形BNED}．
实践与探究：
（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；
①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；
②在图2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；
（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）首先证明四边形MNED是矩形，然后依题意可证出四边形MNED是正方形．根据勾股定理可得正方形MNED的面积．
过点N做NP⊥BE，然后根据全等三角形的判定求得．
（2）由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，所以可得出一个正方形．

解答：解：（1）①证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形．
在Rt△ADM与Rt△CDE中，
∵AD=CD，又∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，
∴DM=DE
∴四边形MNED是正方形．
∵DE²=CD²+CE²=a²+b²，
∴正方形MNED的面积为a²+b²；
②过点N作NP⊥BE，垂足为P，如图
可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等．
所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED．

（2）答：能．
理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，依此类推．由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n-1）次拼接，得到一个正方形．

点评：本题考查的是正方形的性质以及正方形的判定定理．