Question

10．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A在△ABC外引一直线l，分别过点B、C作直线l的垂线，垂足分别为D、E，求证：BD+CE=DE．
（2）若直线l绕点A旋转至△ABC的内部如图2，其他条件不变，BD、CE与DE之间又存在什么样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由垂线的定义和角的互余关系得出∠BDA=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS证明△ABD≌△CAE，得出对应边相等BD=AE，AD=CE，由AD+AE=DE，即可得出结论；
（2）由垂线的定义和角的互余关系得出∠ADB=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS证明△ABD≌△CAE，得出对应边相等BD=AE，AD=CE，由AE+DE=AD，即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠BAD+∠ABD=90°．
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA=90°}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD+AE=DE，
∴BD+CE=DE；
（2）BD=DE+CE．
理由如下：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠CEA=90°．
∴∠BAD+∠ABD=90°．
∴∠ABD=∠CAE．
在△ABD和△CAE中$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠CEA}\\{∠ABD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴BD=AE，AD=CE．
∵AD+DE=AE，
∴BD=DE+CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、角的互余关系，证得△ABD≌△CAE是解决问题的关键．