Question

（1）如图（1），已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线MN过A点，分别过B、C向直线MN作垂线，垂足为E、F．求证：EF=BE+CF．
（2）若将（1）中的直线MN绕着A点旋转，使直线MN与BC相交，如图（2），而其他条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，你能得到什么结论？请给出证明．

Answer 1

证明：（1）∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠FAC，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EA+AF．

（2）结论：EF=BE-CF，
理由是：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ABF中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∵EF=AF-AE，
∴EF=BE-CF．
分析：（1）根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，则BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE-CF．
点评：本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．