Question

（2012•宝安区二模）如图，已知⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，∠AOC=60°．
（1）求证：△OAD≌△CBD；
（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）先由垂径定理得出AD=BD，再根据∠AOC=60°可知∠OAD=30°，故OD=

1

2

OA，顾客的出OD=CD，由SAS定理即可得出结论；
（2）连接OB，在Rt△AOD中，AB=2可求出AD、OD、OA的长，由全等三角形的判定定理得出△AOD≌△BOD，顾客的出∠BOD=∠AOD=60°，由S_阴影=S_扇形COB-S_△CDB即可得出结论．

解答：（1）证明：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴AD=BD，
∵∠AOC=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OD=

1

2

OA，
∴OD=CD，
在△OAD与△CBD中，
∵

OD=CD ∠ADO=∠CDB AD=BD

，
∴△OAD≌△CBD；

（2）连接OB，
在Rt△AOD中，
∵AB=2，
∴AD=1，OD=

3

3

，OA=

2 3

3

，
∵在△AOD与△BOD中，
∵

OD=OD ∠ADO=∠BDO AD=BD

，
∴△AOD≌△BOD，
∴∠BOD=∠AOD=60°，
∴S_阴影=S_扇形COB-S_△CDB=

60π×( 2 3 3 )2

360

-

1

2

×1×

3

3

=

2π

9

-

3

6

．

点评：本题考查的是垂径定理及扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质，根据题意得出S_阴影=S_扇形COB-S_△AOD是解答此题的关键．