Question

如图，正方形ABCD，E、F分别是CB、DC延长线上一点，且BE=CF．
（1）AF、DE有何关系？写出你的结论，并说明理由．
（2）连接AE、EF，则四边形AEFD的中点四边形是什么特殊的四边形？并说明理由．

Answer 1

解：（1）AF=DE．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠ADC=∠BCD=90°，
∵BE=CF，
∴CE=DF，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE；

（2）四边形AEFD的中点四边形是正方形．
理由：∵AF=DE，
∴四边形AEFD的中点四边形是菱形；
∵△ADF≌△DCE，
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠AFD+∠CDE=90°，
∴AF⊥DE，
∴四边形AEFD的中点四边形是正方形．
分析：（1）由正方形ABCD，E、F分别是CB、DC延长线上一点，且BE=CF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），则可证得AF=DE；
（2）由（1）可得AF=DE，继而证得AF⊥DE，可得四边形AEFD的中点四边形是正方形．
点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及中点四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．