Question

如图，在△ABC中，AD，BE分别∠BAC，∠ABC的角平分线，
（1）若∠C=70°，求∠BED的度数；
（2）∠BED=45°，求∠C的度数；
（3）猜想∠BED与∠C的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的角平分线、中线和高

专题：

分析：（1）由∠C=70°，根据三角形内角和定理可求∠BAC+∠ABC=110°，由AD，BE分别∠BAC，∠ABC的角平分线，可求∠BAD+∠ABE=

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（∠BAC+∠ABC）=55°，然后由外角的性质可求∠BED的度数；
（2）由∠BED=45°，利用外角的性质可求∠BAD+∠ABE=∠BED=45°，由AD，BE分别∠BAC，∠ABC的角平分线，可得∠BAC+∠ABC=2（∠BAD+∠ABE）=90°，然后利用三角形的内角和定理可求∠C的度数；
（3）由外角的性质可得∠BED=∠BAD+∠ABE，由角平分线的性质可得∠BAD+∠ABE=

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（∠BAC+∠ABC），由三角形内角和定理可得∠BAC+∠ABC=180°-∠C，所以∠BED=∠BAD+∠ABE=

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（∠BAC+∠ABC）=

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2

（180°-∠C）=90°-

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2

∠C．

解答：解：（1）∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∠C=70°，
∴∠BAC+∠ABC=110°，
∵AD，BE分别∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠BAD+∠ABE=

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（∠BAC+∠ABC）=55°，
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠BAD+∠ABE=55°；
（2）∵∠BED是△ABE的外角，∠BED=45°，
∴∠BAD+∠ABE=∠BED=45°，
∵AD，BE分别∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠BAD+∠ABE）=90°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=180°-（∠BAC+∠ABC）=180°-90°=90°；
（3）∠BED=90°-

1

2

∠C．
∵∠BED是△ABE的外角，
∴∠BED=∠BAD+∠ABE，
∵AD，BE分别∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠BAD+∠ABE=

1

2

（∠BAC+∠ABC），
∵∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∴∠BED=∠BAD+∠ABE=

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2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠C）=90°-

1

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∠C．
即：∠BED=90°-

1

2

∠C．

点评：此题考查了三角形的内角和定理，外角的性质及角平分线的性质，综合利用这些知识点进行一步一步的推理是解题的关键．