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    如图，已知抛物线m的解析式为y=x2-4，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．
    （1）求证：点D一定在抛物线n上．
    （2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．
    （3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．
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    分析：（1）根据m的解析式可求m与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），n与m关于x轴对称，实际上是n与m的顶点关于x轴对称，即l2的顶点为（0，4），设顶点式，可求抛物线n的解析式，利用平行四边形是中心对称图形，A、C关于原点对称，则B、D也关于原点对称，设点B（m，n），则点D（-m，-n），由于B（m，n）点是y=x2-4上任意一点，则n=m2-4，∴-n=-（m2-4）=-m2+4=-（-m）2+4，可知点D（-m，-n）在n，y=-x2+4的图象上；
    （2）构造∠ABC=90°是关键，连接OB，只要证明OB=OC即可，
    （3）求出OB长，过点B作BH⊥x轴于H，用B的坐标为（x0，x02-4），可求OB，用OB=OC求x0，再计算面积．
    解答：精英家教网（1）证明：设n的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
    ∵n与x轴的交点为A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），m与n关于x轴对称，
    ∴m过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），
    ∴
    4a-2b+c=0
    4a+2b+c=0
    c=4

    ∴a=-1，b=0，c=4，
    即n的解析式为y=-x2+4，
    设点B（m，n）为m：y=x2-4上任意一点，则n=m2-4，
    ∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，
    ∴B、D关于原点O对称，
    ∴点D的坐标为D（-m，-n）．
    由式方程式可知，-n=-（m2-4）=-（-m）2+4，
    即点D的坐标满足y=-x2+4，
    ∴点D在n上．

    （2）解：?ABCD能为矩形．
    过点B作BH⊥x轴于H，由点B在m：y=x2-4上，可设点B的坐标为（x0，x02-4），
    则OH=|x0|，BH=|x02-4|．
    易知，当且仅当BO=AO=2时，?ABCD为矩形．
    在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02-4|2=22，
    （x02-4）（x02-3）=0，
    ∴x0=±2（舍去）、x0=±
    		3
    ．（7分）
    所以，当点B坐标为B（
    		3
    ，-1）或B′（-
    		3
    ，-1）时，?ABCD为矩形，
    此时，点D的坐标分别是D（-
    		3
    ，1）、D′（
    		3
    ，1）．
    因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．

    （3）解：设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB，
    ∴
    EO
    AO
    =
    BH
    AH
    ，
    ∴
    EO
    2
    =
    1
    2+
    		3
    ．
    ∴EO=4-2
    		3
    ．
    由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为
    S=2S△ACE=2×
    1
    2
    ×AC×EO=2×
    1
    2
    ×4×（4-2
    		3
    ）=16-8
    		3
    ．即四边形AEMN的面积不改变，为16-8
    		3
    ．
    点评：此题主要考查了二次函数、相似形、四边形等知识，三个小题的坡度设计很恰当，能较好地体现出试题的区分度，对第2题的证明过程要仔细领悟．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线C0的解析式为y=x2-（a+b）x+
    c24
    ，其中a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠精英家教网C所对边的长．
    （1）求证：抛物线C0与x轴必有两个交点；
    （2）设P、Q是抛物线C0与x轴的两个交点，求证：P、Q两点总在x轴的正半轴上；
    （3）设直线l：y=ax-bc与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，N为抛物线与y轴的交点，直线x=a是抛物线的对称轴，当△MNE的面积是△MNF的面积的5倍时，确定△ABC的形状．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线C1的解析式为y=-x2+2x+8，图象与y轴交于D点，并且顶点A在双曲线上．
    （1）求过顶点A的双曲线解析式；
    （2）若开口向上的抛物线C2与C1的形状、大小完全相同，并且C2的顶点P始终在C1上，证明：抛物线C2一定经过A点；
    （3）设（2）中的抛物线C2的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交于E点，当D、O、E精英家教网、F四点组成的四边形的面积为16.5时，先求出P点坐标，并在直线y=x上求一点M，使|MD-MP|的值最大．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知抛物线C1的顶点坐标是D（1，4），且经过点C（2，3），又与x轴交于点A、E（点A在点E左边），与y轴交于点B．
    （1）抛物线C1的表达式是
    y=-x2+2x+3
    y=-x2+2x+3
    ；
    （2）四边形ABDE的面积等于
    9
    9
    ；
    （3）问：△AOB与△DBE相似吗？并说明你的理由；
    （4）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F．另一条抛物线C2经过点E（C2与C1不重合），且顶点为M（a，b），对称轴与x轴交于点G，并且以M、G、E为顶点的三角形与以点D、E、F为顶点的三角形全等，求a、b的值．（只需写出结果，不必写解答过程）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图，已知抛物线C1的解析式为y=-x2+2x+8，图象与y轴交于D点，并且顶点A在双曲线上．
    （1）求过顶点A的双曲线解析式；
    （2）若开口向上的抛物线C2与C1的形状、大小完全相同，并且C2的顶点P始终在C1上，证明：抛物线C2一定经过A点；
    （3）设（2）中的抛物线C2的对称轴PF与x轴交于F点，且与双曲线交于E点，当D、O、E、F四点组成的四边形的面积为16.5时，先求出P点坐标，并在直线y=x上求一点M，使|MD-MP|的值最大．

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