Question

如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．

（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；
（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

Answer 1

（1）证明：AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
∵AC平分∠MAB，BC平分∠ABN，
∴∠CAB=∠MAB，∠ABC=∠ABN，
∴∠CAB+∠ACB=（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠ACB=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．

（2）AD+BE=AB，
证明：延长AC交BE于Q，
∵AC平分∠MAB，
∴∠MAC=∠BAC，
∵AM∥BN，
∴∠MAC=∠AQB，
∴∠BAC=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BC平分∠ABQ，
∴AC=CQ，
∵AM∥BN，
∴==，
∴AD=EQ，
∴AD+BE=AB．

（3）成立，
证明：如图2，
延长AC交BE于Q，
∵AC平分∠MAB，
∴∠MAC=∠BAC，
∵AM∥BN，
∴∠MAC=∠AQB，
∴∠BAC=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BC平分∠ABQ，
∴AC=CQ，
∵AM∥BN，
∴==，
∴AD=EQ，
∴AD+BE=AB．
分析：（1）根据平行线性质得出∠MAB+∠ABN=180°，求出∠CAB+∠ACB=（∠MAB+∠ABN）=90°，求出∠ACB=90°即可．
（2）求出AB=BQ，根据等腰三角形性质求出AC=CQ，推出AD=EQ，即可得出答案．
（3）求出AB=BQ，根据等腰三角形性质求出AC=CQ，推出AD=EQ，即可得出答案．
点评：本题考查了平行线等分线段定理，平行线性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生的推理能力．