Question

如图①，在平面直角坐标系中，已知△ABC是等边三角形，点B的坐标为（12，0），动点P在线段AB上从点A向点B以每秒

3

个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在x轴上．
（1）当t为何值时，点M与点O重合；
（2）求点P坐标和等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；
（3）如果取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图②所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）当M，O重合时，△PON是等边三角形，因此∠AMP=30°，OA=2AP，可根据OB的长和∠OAB的度数求出OA的长，即可求出AP的长，然后根据P点的速度即可求出t的值．
（2）可通过构建直角三角形求解．过P分别作PQ⊥OA于点Q，PS⊥OB于点S．可在直角三角形APQ中，用AP的长和∠OQP的度数求出AQ的长，也就求出了OQ和PS的长，然后在直角三角形PSM中，可根据PS的长和∠PMN的度数求出等边三角形PMN的边长．
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①当F点在PM右侧时，即当0≤t≤1时，重合部分是个直角梯形．
②当PM和PN都与线段EF相交时，即当1＜t≤2时，重合部分是个五边形，设PM，PN与EF的交点分别为I，G，那么重合部分的面积可用梯形FGNO的面积-三角形FQI的面积来求得．
可根据上述两种情况求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求得S的最大值及对应的t的值．

解答：解：（1）点M与点O重合．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°．
由OB=12，
∴AB=8

3

，AO=4

3

．
∵△PON是等边三角形，
∴∠PON=60度．
∴∠AOP=30度．
∴AO=2AP，即4

3

=2

3

t，
解得t=2．
∴当t=2时，点M与点O重合．

（2）如图①，过P分别作PQ⊥OA于点Q，PS⊥OB于点S，
可求得AQ=

1

2

AP=

3 t

2

，PS=QO=OA-AQ=4

3

-

3 t

2

．
QP=AQcos30°=

3

×

3

2

t=

3

2

t．
∴点P坐标为（

3

2

t，4

3

-

3 t

2

）．
在Rt△PMS中，sin60°=

PS

PM

，
∴PM=（4

3

-

3 t

2

）÷

3

2

=8-t．

（3）（Ⅰ）当0≤t≤1时，见图②．
设PN交EF于点G，
∵PM过F点时，OD⊥ED，ED∥FO而D为OB的中点，
∴E是AB的中点，
∵EF∥OD，
∴F也是AO的中点，
∴△FMO≌△AFP，
∴∠FMO=∠PAF=60°，
则重叠部分为直角梯形FONG，
作GH⊥OB于点H．
∵∠GNH=60°，GH=2

3

，
∴HN=2．
∵MP=8-t，
∴BM=2MP=16-2t．
∴OM=BM-OB=16-2t-12=4-2t．
∴ON=MN-OM=8-t-（4-2t）=4+t．
∴FG=OH=ON-HN=4+t-2=2+t．
∴S=

1

2

（2+t+4+t）×2

3

=2

3

t+6

3

．
∵S随t的增大而增大，
∴当t=1时，S_最大=8

3

．
（Ⅱ）当1＜t≤2时，见图③．
设PM交EF于点I，交FO于点Q，PN交EF于点G．
重叠部分为五边形OQIGN．
OQ=4

3

-2

3

t，FQ=2

3

-（4

3

-2

3

t）=2

3

t-2

3

，FI=

3

3

FQ=2t-2．
∴三角形QFI的面积=

1

2

（2

3

t-2

3

）（2t-2）=2

3

（t²-2t+1）．
由（Ⅰ）可知梯形OFGN的面积=2

3

t+6

3

，
∴S=2

3

t+6

3

-2

3

（t²-2t+1）=-2

3

（t²-3t-2）．
∵-2

3

＜0，
∴当t=

3

2

时，S有最大值，S_最大=

17 3

2

．
综上所述：当0≤t≤1时，S=2

3

t+6

3

；当1＜t≤2时，S=-2

3

t²+6

3

t+4

3

；
∵

17 3

2

＞8

3

，
∴S的最大值是

17 3

2

．

点评：本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、图形的面积求法、二次函数的应用等知识点，及综合应用知识、解决问题的能力．