Question

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF、CE和EF，设EF与AC的交点为O．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若，△ABF的为面积12cm²，求△ABF的周长．

Answer 1

（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AC，
∵AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，又AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；

（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=2；
设AB=x，BF=y，∵∠B=90°，
∴在直角三角形ABF中，根据勾股定理得：AB²+BF²=AF²，即x²+y²=52
又∵S_△ABF=12，∴=12，则xy=24；
∴（x+y）²=100，
∴x+y=10或x+y=-10（不合题意，舍去）；
∴△ABF的周长为10+2．
分析：（1）由折叠的性质知：EF⊥AO，然后可通过证△AOE≌△COF来得到AE=CF，从而根据平行四边形的判定得出四边形AECF是平行四边形进而利用AC⊥EF，得出四边形AECF是菱形．
（2）由（1）的结论易求得AE=AF=2cm，因此只需求得AB+BF即可求得△ABF的周长，可设AB=x、BF=y，在Rt△ABF中，根据勾股定理和△ABF的面积即可求得x+y的值，由此得解．
点评：此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定以及勾股定理等知识的综合应用，（2）题在求三角形周长时，要注意整体思想的运用．