Question

11．已知：△ABC和△ADE是等边三角形，连接CE且CE=6，BD=3CD；AC和ED的延长线交于K，求AK的长．

Answer 1

分析 过D作DF∥AB，交AK于F，先证明△ADF≌△EDC，得EC=AF=6，∠ECD=∠CFD=60°，再证明FD∥EC，和DF∥AB，得相似，列两组比例式可分别求出FC和FK的长，所以AK=AC+CF+FK=4+2+1=7．

解答 解：过D作DF∥AB，交AK于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠FCD=∠ACB=60°，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B=60°，
∴△FCD是等边三角形，
∴CD=FD=CF，∠CFD=60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=AE，∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠CDF=60°，
∴∠ADE+∠BDA=∠CDF+∠BDA，
即∠CDE=∠FDA，
∴△ADF≌△EDC，
∴EC=AF=6，∠ECD=∠CFD=60°，
∴∠ACE=180°-60°-60°=60°，
∴∠ACE=∠CFD，
∴CE∥FD，
∴△KFD∽△KCE，
∴$\frac{FD}{CE}=\frac{FK}{CK}$①，
设FD=FC=x，
∵FD∥AB，
∴△FCD∽△ACB，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{CF}{AC}$，
∵BD=3CD，
∴$\frac{CF}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴CF=x，AC=2x，
x+2x=6，
x=2，
∴CF=2，AC=4，
由①得：$\frac{2}{6}=\frac{FK}{2+FK}$，
∴FK=1，
∴AK=AC+CF+FK=4+2+1=7．

点评 本题考查了全等三角形和等边三角形的性质和判定，同时与平行得相似结合，根据相似三角形对应边成比例列式，设FC=x，得一次方程，求出方程的解；通过作辅助线，将所求的边AK分成三条线段，分别求出三条线段的长，从而使问题得以解决．