Question

如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动），求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．

Answer 1

解：（1）∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，OB=2OA；
∵∠ABC=90°，易得△ABO∽△BCO，
∴AO：BO=BO：OC，即OC=2OB=4，
∴C（4，0）．

（2）设抛物线方程为y=ax²+bx+c（a≠0），依题意有：
，
解得；
∴抛物线的解析式为y=-x²+x+2．

（3）∵OB=2，OC=4，
∴BC=2；
则：BP=t，CP=2-t，CQ=t；
①CP=CQ，则有：2-t=t，
解得：t=；
②CQ=QP，过Q作QM′⊥BC于M′，则有：
CM′=（2-t）；
易证△CQM′∽△CBO，
则：=，
即，
解得：t==；
③CP=PQ，过P作PN⊥OC于N，则：
CN=CQ=t；
易证△CNP∽△COB，则有：，
即，
解得t==；
综上所述，当t=或或时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．

（4）由（3）知：当CP=CQ时，BP=t==BC，即P是BC的中点，
∵B（0，2），C（4，0），
∴P（2，1）；
∴直线OP的解析式为：y=x；
联立抛物线的解析式有：
，
解得，；
∴直线OP与抛物线的交点为（1+，），（1-，）．
分析：（1）由于AB⊥BC，则△AOB∽△BOC，由于OB=2OA，则OC=2OB，由此可求出C点的坐标．
（2）设抛物线方程为y=ax²+bx+c（a≠0），三点代入联立方程解出a、b、c．
（3）根据P、Q的速度，可用t表示出BP、CP、CQ的长，若以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，那么可分作三种情况考虑：
①CP=CQ，可联立CP、CQ的表达式，可得到关于t的等量关系式，即可求出此时t的值；
②CQ=QP，过Q作QM⊥BC于M，根据等腰三角形的性质知CM=CP，可通过△CQM∽△CBO所得比例线段，列出关于t的等量关系式，求出此时t的值；
③CP=PQ，过P作PN⊥OC于N，方法与②相同．
（4）在（2）题中已经求得CP=CQ时的t值，此时发现P是BC的中点，根据B、C的坐标，即可得到P点的坐标，易求得直线OP的解析式，联立抛物线的解析式可求出它与抛物线的交点坐标．
点评：此题是二次函数的综合题，主要考查了相似三角形的性质、二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及等腰三角形的构成条件等重要知识，在等腰三角形腰和底不确定的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．