Question

如图，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）求证：△CFP∽△CPD；
（3）如果CF=1，CP=2，sinA=，求O到DC的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OD，证OD⊥DE即可．易证∠ADB=90°，又点E为AB的中点，得DE=EB．根据等腰三角形性质可证∠ODE=∠OBE=90°，得证；
（2）可证∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC．结合已知条件，证明△PDC与△FPC相似．
（3）根据△PCF∽△DCP，得出CD的长度，进而求出O到DC的距离即可．
解答：（1）证明：连接OD．
∵BC为直径，
∴△BDC为直角三角形．
在Rt△ADB中，E为AB中点，
∴BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB．
又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．
∴ED是⊙O的切线．

（2）证明：∵PF⊥BC，
∴∠FPC=90°-∠BCP（直角三角形的两个锐角互余）．
∵∠PDC=90°-∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所对的圆周角相等），
∴∠FPC=∠PDC（等量代换）．
又∵∠PCF是公共角，
∴△PCF∽△DCP．

（3）解：过点O作OM⊥CD于点M，
∵△PCF∽△DCP，
∴PC²=CF•CD（相似三角形的对应边成比例）．
∵CF=1，CP=2，
∴CD=4．
可知sin∠DBC=sinA=sin∠MOC=，
∴=，即=，
∴直径BC=5，
∴=，
∴MC=2，
∴MO=，
∴O到DC的距离为．
点评：此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，根据相似三角形的性质得出CD的长度是解题关键．