Question

函数f（x）=x²+mx+m₀（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M．
（1）证明：|1+m₀|≤M；
（2）求M的最小值，并求出当M取最小值时函数f（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）证明：由已知：|f（-1）|=|1-m+m₀|≤M，|f（1）|=|1+m+m₀|≤M，
由公式：|（1-m+m₀）+（1+m+m₀）|≤|1-m+m₀|+|1+m+m₀|，
所以|2+2m₀|≤2M，
|1+m₀|≤M；
（2）∵f（0）=m₀，|f（0）|=|m₀|≤M，
∴|（1+m₀）-m₀|≤|1+m₀|+|m₀|≤2M，
∴M≥．
∴M的最小值为，
根据题意得出：1-m+m₀=，1+m+m₀=，
解得：，
∴M取最小值时，函数f（x）的解析式为：y=x²-．
分析：（1）根据f（x）=x²+mx+m₀（a，b∈R）的定义域为[-1，1]，且|f（x）|的最大值为M，得出|f（-1）|=|1-m+m₀|≤M，|f（1）|=|1+m+m₀|≤M，进而得出|2+2m₀|≤2M，即可得出答案；
（2）利用f（0）=m₀，|f（0）|=|m₀|≤M，即可得出|（1+m₀）-m₀|≤|1+m₀|+|m₀|≤2M，再利用M取最小值求出函数f（x）的解析式．
点评：此题主要考查了函数定义域的性质，利用不等式的性质得出|（1-m+m₀）+（1+m+m₀）|≤|1-m+m₀|+|1+m+m₀|是解决问题的关键．