Question

如图已知△ABC为等边三角形，P是AC延长线上一点，PA为边作等边三角形APE，EC的延长线交BP于点M，连接AM．求证：
（1）BP=CE；
（2）∠AME=60°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等边三角形的性质推出AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，证出△EAC≌△PAB即可；
（2）求出∠PME=∠EAC=60°，推出A、M、P、E四点共圆，根推出∠AME=∠EPA=60°即可．

解答：证明：（1）∵△ABC，△APE是等边三角形，
∴AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，
在△EAC与△PAB中，

AE=AP ∠EAC=∠PAB AC=AB

，
∴△EAC≌△PAB（SAS），
∴BP=CE；

（2）∵△EAC≌△PAB，
∴∠AEC=∠APB，
∵∠ECA=∠PCM，∠AEC+∠EAC+∠ECA=180°，∠APB+∠PCM+∠PMC=180°，
∴∠PME=∠EAC=60°，
∴A、M、P、E四点共圆，
∴∠AME=∠EPA=60°．

点评：本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．