Question

如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，延长BC至点E，使得CE=AD
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC可知AD∥CE，再由AD=CE即可判断出四边形AECD是平行四边形；
（2）由于梯形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD，过点D作DF⊥BE，由（1）可知四边形AECD是平行四边形，所以AC=DE，AC∥DE，由于AC⊥BD可得出BD⊥DE，BD=DE，故△BDE是等腰直角三角形，故可求出DF的长，进而得出梯形ABCD的面积．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∵AD=CE，
∴四边形AECD是平行四边形；

（2）解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
过点D作DF⊥BE，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴AC=DE，AC∥DE，
∵AC⊥BD，
∴BD⊥DE，BD=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵AD=3，BC=7，AD=CE，
∴DF=

1

2

（BC+CE）=

1

2

×10=5，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）×DF=

1

2

×10×5=25．

点评：本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的判定定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．