Question

如图，平面平角坐标系中，直线y=x+8与坐标轴相交于点A、B，直线AC与x轴相交于点C（5，0），CD为△ABC中线，E为CD中点．
（1）求直线AC的解析式；
（2）判断OE是否垂直CD，并说明理由；
（3）若∠BCD=α，∠BAO=β，试用α的代数式表示β．

Answer 1

解：（1）由直线y=x+8得，A（0，8），B（-6，0）
设直线AC为y=kx+8，
把（5，0）代入得5k+8=0，解得k=-
∴直线AC的解析式为y=-x+8；

（2）如图所示：
连接OD，Rt△ABO中
∵D是AB中点，∴OD=AB
∴OA=8，OB=6，
∴AB==10，∴OD=AB=5
∵OC=5，∴OD=OC
∵E是CD中点，∴OE⊥CD；

（3）由（2）知∠DOB=2α
∵OD=BD=AD，∴∠B=∠DOB=2α
∴∠BAO=90°-∠B=90°-2α，即β=90°-2α．
分析：（1）先求出A点坐标，然后根据A、C两点坐标求出直线AC的解析式；
（2）根据直角三角形的性质可知OD=AB，算出OD=OC，所以△OCD是等腰三角形，即可得出结论；
（3）因为∠DOB=2α，∠B=∠DOB=2α，即可用α的代数式表示β．
点评：本题主要考查对于一次函数图象的应用以及三角形性质的掌握．