如图，等边三角形ABC的边长为8cm，动点P从点A出发以2cm/秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN，垂足分别为点M、N．
设P、Q两点运动时间为t秒（0＜t＜4），四边形MNQP的面积为Scm²．
（1）当点P、Q在运动的过程中，t为何值时，△PCQ是直角三角形？
（2）求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的 $数学公式$ ？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）假设△PCQ为直角三角形，
①∵∠C=60°，
∴PC=2CQ
∴8-2t=2t，
解得t=2，
当t=2时，△PCQ是直角三角形；
②当2PC=CQ时，
由PC=2CQ可得：2（8-2t）=t，
解得t= $\text{[math]}$ ，
∴当t= $\text{[math]}$ 时，△PCQ是直角三角形；
综上所述：t=2或 $\text{[math]}$ 时，△PCQ是直角三角形；

（2）根据题意得，AP=2t，QB=8-t，△APM和△QNB是直角三角形，四边形MNQP是直角梯形．
在Rt△APM和Rt△QNB中 $\text{[math]}$ ，
所以MN=AB-AM-BN= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

（3）假设存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的 $\text{[math]}$ ，
即S= $\text{[math]}$ S_△ABC， $\text{[math]}$ ，
整理得：t²=8，
解得， $\text{[math]}$ （舍去），
答：当 $\text{[math]}$ 时，四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用当PC=2CQ时以及当2PC=CQ时，△PCQ是直角三角形分别求出即可；
（2）△APM和△BQN都是有一个角是60°的直角三角形，根据勾股定理可分别求出AM，PM，BN和QN，然后求出直角梯形的高MN．用梯形面积公式求出四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
（3）根据题意确定一个等量关系，列出方程即可解得t的值，然后看是否满足0＜t＜4．
点评：本题综合考查了正三角形的性质和直角三角形的性质，把函数和面积融合在一起，比较复杂，检测学生的计算能力．

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=（　　）

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