Question

如图①，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，我们易得∠BOC=90°+∠A（不必证明，本题可直接运用）；在图②中，当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时，求∠BO′C与∠A的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC：如图②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

（1）在图②中存在如图③的基本图形：点A、B、D在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
（2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系；
（3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．

Answer 1

（1）证明：如图③，∵BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，
∴∠CBO=∠ABC，∠CBO′=∠CBD，
∵∠ABC+∠DBC=180°，
∴∠CBO+∠CBO′=（∠ABC+∠DBC）=90°；

（2）猜想：∠BO′C=90°-∠A．
证明：由（1）中基本图形结论得：∠OBO′=∠OCO′=90°．
∵∠OBO′+∠OCO′+∠BOC+∠BO′C=360°，
∴∠BO′C=360°-180°-∠BOC=180°-∠BOC，
∴∠BO′C=90°-∠A．

（3）猜想：∠BPC=∠A．
证明：如图④，作CO平分∠ACB，交BP于点O．
由（1）中基本图形结论得到：∠OCP=90°．∵∠BPC=90°+∠A，
∴∠BPC=∠BOC-∠OCP=∠A．
分析：（1）根据角平分线、平角的定义进行证明；
（2）∠BO′C=90°-∠A．由（1）中基本图形结论得：∠OBO′=∠OCO′=90°．根据四边形内角和是360度得到：∠OBO′+∠OCO′+∠BOC+∠BO′C=360°，则
∠BO′C=90°-∠A．
（3）猜想：∠BPC=∠A．如图④，作CO平分∠ACB，交BP于点O．由（1）中基本图形结论得到：∠OCP=90°．利用∠BPC=90°+∠A，故∠BPC=∠BOC-∠OCP=∠A．
点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．