Question

（2013•邢台一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AP切⊙O于点A，OP⊥AC于点E．
（1）求证：△ABC∽POA；
（2）若OB=2，OP=

7

2

，求PE的长．

Answer 1

分析：（1）由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根据直径所对的圆周角为直角可知∠C=90°，再根据切线的性质知∠OAP=90°，从而可证△ABC∽△POA；
（2）根据△ABC∽△POA，和已知边的长可将BC的长求出，利用勾股定理可求出AC的长，进而求出AE的长，利用射影定理即可求出PE的长．

解答：（1）证明：∵BC∥OP
∴∠AOP=∠B
∵AB是直径
∴∠C=90°
∵PA是⊙O的切线，切点为A
∴∠OAP=90°
∴∠C=∠OAP
∴△ABC∽△POA；

（2）解：∵△ABC∽△POA，
∴

BC

OA

=

AB

PO

，
∵OB=2，OP=

7

2

，
∴OA=2，AB=4，
∴

BC

2

=

4

7 2

，
∴BC=

16

7

，
∴AC=

AB2-BC2

=

4 33

7

，
∴AE=

1

2

AC=

2 33

7

，
∵AE²=PE•OE=PE×

1

2

BC，
∴PE=

132

49

．

点评：本题主要考查相似三角形的性质与判定、切线的性质等知识，综合性比较强．