Question

9．在△ABC中，AC=AB=5，一边上高为3，求底边BC的长（注意：请画出图形）．

Answer 1

分析 分三种情况：①当底边BC边上的高为3时；②当腰上的高BD=3时；③当高在△ABC的外部时；根据勾股定理先求得AD，根据线段的和差求得BD，根据勾股定理求得底边BC的长．

解答 解：分三种情况：
①当底边BC边上的高为3时，如图1所示，
∵在△ACD中，AB=AC=5，高AD=3，
∴BD=CD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴BC=2BD=8；
②当腰上的高BD=3时，如图2所示：
则AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CD=5-4=1，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
③当高在△ABC的外部时，如图3所示：
∵在△BCD中，AB=AC=5，高BD=3，
∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CD=4+5=9，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$；
综上所述：底边BC的长是8或$\sqrt{10}$或3$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质．注意熟练运用勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．