Question

如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）求证：△AEP∽△DPC；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，设DP=x，BE=y，求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC；

（2）设DP=x，BE=y，则AE=2-y，AP=3-x，
∵△AEP∽△DPC
∴，
即：，
整理得：y=x²-x+2（0＜x＜3）．
分析：（1）利用矩形的性质可以得到∠A=∠D，利用PE⊥PC可以得到∠APE=∠DCP，从而证明两三角形相似；
（2）利用上题证得的三角形相似，列出比例式，进而得到两个变量之间的函数关系．
点评：本题考查了相似三角形的判定及性质，正确的利用矩形的性质是解题的关键．