Question

已知，如图甲，在△ABC中，AE平分∠BAC（∠C＞∠B），F为AE上一点，且FD⊥BC于D．
（1）试说明：∠EFD=（∠C-∠B）；
（2）当F在AE的延长线上时，如图乙，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

解：∵FD⊥EC，
∴∠EFD=90°-∠FEC，
∴∠FEC=∠B+∠BAE，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）
=90°-（∠B+∠C），
则∠FEC=∠B+90°-（∠B+∠C）
=90°+（∠B-∠C），
则∠EFD=90°-[90°+（∠B-∠C）]
=（∠C-∠B）；
（2）成立．
证明：同（1）可证：∠AEC=90°+（∠B-∠C），
∴∠DEF=∠AEC=90°+（∠B-∠C），
∴∠EFD=90°-[90°+（∠B-∠C）]
=（∠C-∠B）．
分析：（1）根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EFD的度数；
（2）根据（1）可以得到∠AEC=90°+（∠B-∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解．
点评：本题考查了三角形的内角和定理以及外角和定理，角平分线的定义，正确求得：∠AEC=90°+（∠B-∠C）是关键．