Question

9．二次函数y=（m+2）x²-2（m+2）x-m+5，其中m+2＞0．
（1）求该二次函数的对称轴方程；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．
①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；
②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n=7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；
（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将抛物线解析式配方成顶点式即可得；
（2）①画出函数的大致图象，由图象知直线l经过顶点式时，直线l与抛物线只有一个交点，据此可得；
②画出翻折后函数图象，由直线l与新的图象恰好有三个公共点可得-2m+3=-7，解之可得；
（3）由开口向上及函数值都不小于1可得$\left\{\begin{array}{l}m+2＞0\\-2m+3≥1.\end{array}\right.$，解之即可．

解答 解：（1）∵y=（m+2）x²-2（m+2）x-m+5=（m+2）（x-1）²-2m+3，
∴对称轴方程为x=1．

（2）①如图，由题意知直线l的解析式为y=n，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴n=-2m+3．
②依题可知：当-2m+3=-7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点．
∴m=5．

（3）抛物线y=（m+2）x²-2（m+2）x-m+5的顶点坐标是（1，-2m+3）．
依题可得 $\left\{\begin{array}{l}m+2＞0\\-2m+3≥1.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}m＞-2\\ m≤1.\end{array}\right.$
∴m的取值范围是-2＜m≤1．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点及解不等式组得能力，根据题意画出函数的图象，结合函数图象得出对应方程或不等式组是解题的关键．