Question

如图①，四边形ABCD是边长为5的正方形，以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax²经过A、O、D三点，图②和图③是把一些这样的小正方形及其内部抛物线部分经过拼组得到的．

（1）a的值为______；
（2）图②中矩形EFGH的面积为______；
（3）图③中正方形PQRS的面积为______．

Answer 1

解：（1）根据题意得点D的坐标为（，5），把点D（，5）代入y=ax²得a=；

（2）如图②，根据题意得正方形IJKL沿射线JU方向平行移动15个单位长度与正方形MNUT重合，
由平行移动的性质可知EH=15，同理可得EF=10，
∴S_矩形EFGH=15×10=150；


（3）如图③，建立平面直角坐标系，
设Q点坐标为（m，m²），
其中m＜0，由抛物线，正方形的对称性可得ZQ=VQ，
∴-m=5-m²，
解得m₁=，m₂=（舍去），
∴点Q坐标为（-），
∴RQ=2[-（-）]=
∴S_{正方形PORS}=RQ²=（）²=．
分析：（1）根据正方形的边长为5，可得出A，D的坐标分别是（-2.5，5），（2.5，5）．可将A或D的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值．
（2）看图②不难看出，E点到H点实际向右平移了3个正方形的边长，而F到E向上平移了2个正方形的边长．那么矩形的面积就是3×2×5×5=150．
（3）求正方形的面积就要求出边长，如果设PQ、QR分别于小正方形的边长交于Z、V两点，那么不难得出ZQ=VQ=PQ，可通过建立坐标系来求ZQ、VQ的长，以Q所在的抛物线的顶点为原点作坐标轴，可设出Q点的坐标，然后根据ZQ=VQ，来求出Q的坐标，进而求出VQ、ZQ和正方形的边长，也就可以求出正方形的面积．
点评：本题主要考查了正方形的性质，图形的平移以及二次函数的综合应用，运用数形结合的方法求解是本题的基本思路．