Question

如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，AD在x轴上，直线AB的解析式为y=

3

4

x+3，连接AM交y轴于M．
（1）求点D的坐标；
（2）动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿射线AD方向运动，过P作PQ⊥BD于Q．设运动的时间为t秒，PQ的长度为y，求y与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在t的值使以P、Q、M、A为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）菱形是邻边相等的平行四边形，求点D的坐标，已知点A、B的坐标（由解析式可得），可以先利用勾股定理求出AB的长度，然后再又AB=AD求得点D的坐标．
（2）记AC、BD相交于点N，则若表示PQ的长，我们可以利用△AND∽△PQD，得到一个比例关系，进而可以由与t相关的PD表示PQ，从而确定y与t的函数关系式．注意P延AD方向运动，可能在D的左边，也可能在D上，或在右边，需要分开讨论．
（3）已知AM∥PQ，现只需得到AM=PQ，即可得到四边形AMQP为平行四边形，所以先求出AC直线方程确定M点坐标，然后根据（2）的结论就可以得到关于t的方程，进而求得t．

解答：解：（1）由直线y=

3

4

x+3交x轴、y轴分别于A、B两点，所以A点坐标为（-4，0），B点坐标为（0，3）
在Rt△AOB中，
∵AO=4，BO=3
∴AB=5
在菱形ABCD中
∵AB=BC=CD=AD=5，BC∥AD
∴C点坐标为（5，3），D点坐标为（-1，0）
（2）如图，

记菱形对角线AC、BD相交于点，根据题意在AD上任找一点P，过点P作PQ⊥ND于Q，则∠AND=90°．
∵∠PQD=∠AND=90°
∴PQ∥AN
∴

PD

PQ

=

AD

AN

在Rt△BOD中，
∵BO=3，OD=1
∴BD=

10

∴ND=

1

2

BD=

10

2

在Rt△AND中，
∵AD=5，ND=

10

2

∴AN=

3 10

2

∵AP=t
∴PD=5-t
∴

5-t

PQ

=

5

3 10 2

∴PD=-

3 10

10

t+

3 10

2

即y=-

3 10

10

t+

3 10

2

 (0≤t＜5)
如图，

在AD的延长线上任找一点P′，过P′作P′Q′⊥BD于Q′
同理有

P′D

P′Q′

=

AD

AN

，AP′=t
∵P′D=AP′-AD=t-5
∴P′Q′=

3 10

10

t-

3 10

2

即y=

3 10

10

t-

3 10

2

（t＞5）
则y与t之间的函数关系为y=

- 3 10 10 t+ 3 10 2 ，(0≤t＜5)       0                  ，(t=5) 3 10 10 t- 3 10 2     ，(t＞5)

（3）∵PQ∥AM
∴若有PQ=AM，则由PQAM为顶点的四边形就为平行四边形
设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（-4，0），C（5，3）代入整理得，直线AC的解析式为y=

1

3

x+

4

3

∵M在直线AC上
∴M的坐标为(0，

4

3

)
在Rt△AOM中
∵AO=4，MO=

4

3

∴AM=

4 10

3

当0≤t＜5时，

4 10

3

=-

3 10

10

t+

3 10

2

，解得t=

5

9

当t＞5时，

4 10

3

=

3 10

10

t-

3 10

2

，解得t=

85

9

（如图，应有此两种情况，本题不需要辅助线，此图仅辅助理解）

故当

5

9

s和

85

9

s时，A、M、P、Q四点为顶点组成的四边形为平行四边形．

点评：此题难度较大，综合运用知识较多．菱形的性质是求解第一问的关键，要充分利用其为邻边相等的平行四边形这个定义．第二问的整体难度不算太高，但是想得高分很难，因为我们常常忽略P点运动到D点右边的情形，所以对于动点问题养成紧抓题干字眼，考虑遍所有情形等习惯才能让我们的试卷锦上添花．第三问其实向我们传递着一个做综合题的技巧，这一问的思路往往是紧扣上一问的结论的．我们由第二问得到了PQ长度的关系，那么仅仅利用函数的思想就可以轻松的解决第三问结论，如果另当新题，恐怕思路难以找寻．