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已知:关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m.
(1)试分别判断当a=1,c=-3与a=2,c=
2
时,m≥4是否成立,并说明理由;
(2)若对于任意一个非零的实数a,m≥4总成立,求实数c及m的值.
分析:(1)把a、c的值分别代入ax2+2ax+c=0,①求出方程的根以及两个实数根之差的平方,判断m的值;②根据根与系数的关系求出m的值的取值范围.
(2)先根据一元二次方程的根与系数的关系,表述出两根的和与两根的差,即可用a,c表示出m的值,依据对于任意一个非零的实数a,m≥4总成立,即可确定c和m的值.
解答:解:(1)当a=1,c=-3时,m≥4成立;
当a=2,c=
2
时,m≥4不成立;
当a=1,c=-3时,原方程为x2+2x-3=0,则x1=1,x2=-3,
∴m=[1-(-3)]2=16>4,
即m≥4成立.
当a=2,c=
2
时,原方程为2x2+4x+
2
=0.
由△=42-4×2×
2
>0,可设方程的两个根分别为x1,x2
则x1+x2=-2,x1•x2=
2
2

∴m=(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=4-2
2
<4,
即m≥4不成立.
(2)依题意,设原方程的两个实数根是x1,x2
则x1+x2=-2,x1•x2=
c
a

可得m=(x1-x22=4-
4c
a

∵对于任意一个非零的实数a都有4-
4c
a
≥4,
∴c=0.
当c=0时,△=4a2>0,
答:c=0,m=4.
点评:此题具有一定的开放性,结合根的判别式与根与系数的关系,考查了同学们利用不等关系推理特殊值的能力.
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(2012•延庆县二模)已知:关于x的一元二次方程mx2-(2m+2)x+m-1=0
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