Question

已知二次函数y=mx²-（m-1）x-1．
（1）求证：这个二次函数的图象一定与x轴有交点；
（2）若这个二次函数有最大值0，求m的值；
（3）我们定义：若二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴正半轴的两个交点的横坐标x₁、x₂（x₁＞x₂），满足2＜

x1

x2

＜3，则称这个二次函数与x轴有两个“梦想交点”．如果二次函数y=mx²-（m-1）x-1与x轴有两个“梦想交点”，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由根的判别式就可以得出△的值就可以得出结论；
（2）将二次函数化为顶点式y=m（x-

m-1

2m

）²-

(m-1)2

4m2

-1，求出顶点坐标，由

m-1

2m

=0建立方程求出其解即可；
（3）当y=0时表示出x的值，用代数式表示出x₁、x₂，再由2＜

x1

x2

＜3建立不等式组就可以求出结论．

解答：解：（1）∵y=mx²-（m-1）x-1．
∴当y=0时，mx²-（m-1）x-1=0．
∴a=m，b=-（m-1），c=-1，
∴△=[-（m-1）]²-4m（-1）=m²-2m+1+4m，
∴△=（m+1）²≥0，
∴这个二次函数的图象一定与x轴有交点；
（2）∵y=mx²-（m-1）x-1，
∴y=m（x-

m-1

2m

）²-

(m-1)2

4m2

×m-1，
∴x=

m-1

2m

时，y的最大值为-

(m-1)2

4m2

×m-1．
∵这个二次函数有最大值为0，
∴-

(m-1)2

4m2

×m-1=0．
解得：m=-1．
答：二次函数有最大值为0时，m的值为-1；
（3）∵y=mx²-（m-1）x-1，
∴当y=0时，
mx²-（m-1）x-1=0，
∴x=

m-1±|m+1|

2m

，
∴x₁=

m-1-|m+1|

2m

，
x₂=

m-1+|m+1|

2m

，
∴

x1

x2

=

m-1-|m+1|

m-1+|m+1|

．
∵2＜

x1

x2

＜3，
∴2＜

m-1-|m+1|

m-1+|m+1|

＜3，
当m+1＞0，及m＞-1时，
解得：-

1

2

＜m＜-

1

3

．
当m+1＜0，及m＜-1时，
解得：-3＜m＜-2．
综上所述，m的取值范围为：-

1

2

＜m＜-

1

3

或-3＜m＜-2．

点评：本题考查了根的判别式的运用，二次函数的顶点式的运用，一元二次方程的求根公式的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时灵活运用求根公式是关键．