Question

已知，如图，l₁∥l₂，AC=BC，∠ADE=90°，∠ACB=90°，求证：AD=DE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过D作DF⊥DC，交AC于点F，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ABC为等腰直角三角形且l₁∥l₂，得到∠DCF=∠CAB=45°，即三角形DCF为等腰直角三角形，进而得到DF=DC，利用邻补角定义及等式性质得到一对角相等，利用ASA得到三角形ADF与三角形EDC全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

解答：解：过D作DF⊥DC，交AC于点F，
∵∠ADF+∠FDE=90°，∠CDE+∠FDE=90°，
∴∠ADF=∠CDE，
∵△ABC为等腰直角三角形，且l₁∥l₂，
∴∠DCF=∠CAB=45°，
∴△DCF为等腰直角三角形，
∴DF=DC，∠AFD=∠ECD=135°，
在△ADF和△EDC中，

∠ADF=∠EDC DF=DC ∠AFD=∠ECD

，
∴△ADF≌△EDC（ASA），
∴AD=DE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．