Question

1．已知一次函数y=kx+3（k＜0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，tan∠OAB=2，点P（a，b）是在该函数的图象上的一点．
（1）求k的值；
（2）若点P到x轴、y轴的距离之和等于2，求点P的坐标；
（3）设a=1-m，如果在两个实数a与b之间（不包括a和b）有且只有一个整数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先求得B的坐标，然后根据三角函数的定义求得OA的长，即可求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数；
（2）把P（a，b）代入y=-2x+3，然后根据题意得出|a|=2-|b|，解得即可．
（3）求出P的坐标，分为两种情况m＞0，m＜0，根据坐标即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可．

解答 解：（1）在y=kx+3中令x=0，则y=3，即B的坐标是（0，3），OB=3．
∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=2，
∴OA=$\frac{3}{2}$．
∴A的坐标是（$\frac{3}{2}$，0）．
代入y=kx+3得0=$\frac{3}{2}$k+3，解得k=-2，
∴一次函数的解析式是y=-2x+3．

（2）∵点P（a，b）是在该函数的图象上的一点，
∴b=-2a+3，
∵点P到x轴、y轴的距离之和等于2，
∴|a|=2-|b|，
∴|a|=2-|-2a+3|，
当a＜0时，则有-a=2+2a-3，
解得a=$\frac{1}{3}$（不合题意舍去），
当0＜a＜$\frac{3}{2}$时，则有a=2+2a-3，
解得a=1，
∴P（1，1），
当a＞$\frac{3}{2}$时，则有a=2-2a+3，
解得a=$\frac{5}{3}$，
∴P（$\frac{5}{3}$，-$\frac{1}{3}$）；
（3）由已知P（1-m，2m+1），易知，a≠b，1-m≠2m+1，m≠0；
若m＞0，a＜1＜b，由题设a≥0，b≤2，
则 1-m＜1，2m+1≤2，
解不等式组的解集是：0＜m≤$\frac{1}{2}$；
若m＜0，b＜1＜a，由题设b≥0，a≤2，
则 1-m＞1，2m+1≥0，
解得：-$\frac{1}{2}$≤m＜0；
综合上述：m的取值范围是：$-\frac{1}{2}≤m≤\frac{1}{2}且m≠0$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及三角函数的定义，解答本题的涉及多方面知识，难度一般．