Question

在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，B（6，0），C（6，8）．折叠三角形ABC，使直角顶点B落在y轴上的T处．
（1）如图1，折痕为AN，点N在BC上，求点T、点N的坐标；
（2）如图2，折痕为CM，点M在AB上，若设AT=x，
①用含x的代数式表示BM；
②求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）连接TN，TB，
∵点A在坐标原点，B（6，0），C（6，8），
∴AB=6，BC=8，
∵∠ABC=∠TAB=90°，B沿AN折叠与T重合，
∴△ATN≌△ABT，
∴OT=AB=6，∠OTN=∠ABC=90°=∠TAB，
∴四边形TABN是矩形，
∴∠TNB=90°，NT=AB=6，BN=OT=6，
∴T的坐标是（0，6），N的坐标是（6，6）；

（2）①∵沿CM折叠B和T重合，
∴BM=TM，
在Rt△TOM中，OT²+AM²=TM²，
即x²+（6-BM）²=BM²，
解得：BM=x²+3；
②设AM=a，则BM=6-a，
过C作CD⊥y轴于D，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠CDA=∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形DCBA是矩形，
∴CD=AB=6，
∵沿CM折叠B和T重合，
∴△TMC≌△BMC，
∴BC=CT=8，∠CTM=∠MBC=90°，TM=BM=6-a，
在Rt△CDT中，CD=6，CT=8，由勾股定理得：DT=2，
∵∠DAB=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠CDT=∠TAM=90°，
∴△CDT∽△TAM，
∴=，
∴=，
a=，
即M的坐标是（，0）．
分析：（1）连接TN，TB，求出AB=6，BC=8，根据折叠的性质得出△ATN≌△ABT，推出∠OTN=∠ABC=90°=∠TAB，得出四边形TABN是矩形，推出∠TNB=90°，NT=AB=6，BN=OT=6，即可得出T的坐标、N的坐标；
（2）①根据沿CM折叠B和T重合得出BM=TM，在Rt△TOM中，由勾股定理得出OT²+AM²=TM²，代入求出即可；
②设AM=a，则BM=6-a，过C作CD⊥y轴于D，得出四边形DCBA是矩形，推出CD=AB=6，根据折叠的性质得出△TMC≌△BMC，推出BC=CT=8，∠CTM=∠MBC=90°，TM=BM=6-a，由勾股定理得DT=2，证△CDT∽△TAM，推出=，代入求出即可．
点评：本题综合考查了相似的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，一次函数的应用等知识点的运用，题目综合性比较强，难度偏大．