Question

如图，已知⊙O的直径AB=8cm，直线DM与⊙O相切于点E，连接BE，过点B作BC⊥DM于点C，BC交⊙O于点F，BC=6cm．
求：
（1）线段BE的长；
（2）图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接AE，易得∠AEB=90°，∠ECB=90°，那么∠AEB=∠ECB，根据弦切角定理得∠CEB=∠EAB，那么△AEB∽△ECB，由相似三角形的性质得BE²=AB•BC，从而求得BE的值；
（2）连接OE，过点O作OG⊥BE于点G，易得BG=EG，根据特殊角的三角函数值知∠ABE=30°，所以可求得BO=4，OG=2，进而求得△EOB的面积，由于半径OE=OB，根据等边对等角得∠OEB=∠OBE=30°，由三角形的内角和定理得∠BOE=120°，则可求得扇形OBE的面积，再根据S_阴影=S_扇形OBE-S_△EOB求得阴影部分的面积．

解答：解：（1）连接AE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
又∵BC⊥DM，
∴∠ECB=90°，
∴∠AEB=∠ECB，
∵直线DM与⊙O相切于点E，
∴∠CEB=∠EAB，
∴△AEB∽△ECB，
∴

AB

EB

=

BE

BC

，
∴BE²=AB•BC，
∴BE=

AB•BC

=

8×6

=

48

=4

3

（cm）；

（2）连接OE，过点O作OG⊥BE于点G．
∴BG=EG，
在Rt△ABE中，cos∠ABE=

BE

AB

=

4 3

8

=

3

2

，
∴∠ABE=30°，
在Rt△OBG中，∠ABE=30°，BO=4，
∴OG=2，
∴S△EOB=

1

2

×4

3

×2=4

3

，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE=30°，
∴∠BOE=120°，
∴S_扇形OBE=

120π×42

360

=

16

3

π，
∴S_阴影=S_扇形OBE-S_△EOB=（

16

3

π-4

3

）cm²．

点评：本题综合考查了直径对的圆周角是直角三角形，弦切角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值，三角形和扇形的面积公式等知识点．