Question

推理运算：
抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDE的面积；
（3）求证：△BDE为直角三角形；
（4）求证：△AOB∽△BDE．

Answer 1

（1）解：由图知：A（-1，0），B（0，3），C（2，3）；
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，则有：
，
解得；
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；

（2）解：过D作DF⊥x轴于F；
由（1）的抛物线易得：D（1，4），E（3，0）；
则OF=1，DF=4，EF=2；
∴S_{四边形ABDE}=S_△AOB+S_△DEF+S_梯形BOFD=×1×3+×2×4+×（3+4）×1=9；

（3）证明：∵B（0，3），D（1，4），E（3，0），
∴BD²=2，DE²=20，BE²=18；
∴BD²+BE²=DE²，
故△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°；

（4）证明：由（3）知：BD=，DE=3；
∴OA：OB=BD：DE=1：3；
又∵∠AOB=∠BDE=90°；
∴△AOB∽△BDE．
分析：（1）根据图象给出的信息，即可得到A、B、C三点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得顶点D的坐标；由于四边形ABDE不规则，可将其面积转化为其他规则图形面积的和差；过D作DF⊥x轴于F，那么四边形ABDE的面积可由△AOB、△DEF、梯形BOFD的面积和求得；
（3）根据B、D、E三点坐标，可分别求出BD、DE、BE的长，进而由勾股定理来判定△BDE是否为直角三角形；
（4）在（3）中，已证得∠BDE=90°，那么可以看所求的两个三角形的对应直角边是否成比例即可．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定等知识，要求学生熟练掌握这些基础知识．