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    11．在等边△ABC中，AB=2，点E是BC边上一点，∠DEF=60°，且∠DEF的两边分别与△ABC的边AB，AC交于点P，Q（点P不与点A，B重合）．
    （1）若点E为BC中点．
    ①当点Q与点A重合，请在图1中补全图形；
    ②在图2中，将∠DEF绕着点E旋转，设BP的长为x，CQ的长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）如图3，当点P为AB的中点时，点M，N分别为BC，AC的中点，在EF上截取EP′=EP，连接NP′．请你判断线段NP′与ME的数量关系，并说明理由．

    分析 （1）①依题意补全图形，如图1所示，②先判断△PBE∽△ECQ．用比例式建立方程求出函数关系式；
    （2）先判定四边形PMCN为平行四边形再说明△PEP′是等边三角形．最后判断出△EPM≌△NPP′即可．

    解答 解：（1）①补全图形，如图1所示，

    ②如图2，

    ∵等边△ABC，
    ∴∠B=∠C=∠DEF=60°，AB=BC=AC=2．
    ∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°．
    ∴∠2=∠3．
    ∴△PBE∽△ECQ．
    ∴$\frac{BP}{EC}=\frac{BE}{CQ}$．
    ∵点E为BC的中点，
    ∴BE=EC=1，
    ∵BP的长为x，CQ的长为y，
    ∴$\frac{x}{1}=\frac{1}{y}$．
    即$y=\frac{1}{x}$．
    自变量x的取值范围是：$\frac{1}{2}≤x＜2$．
    （2）如图3，

    答：NP′=ME
    证明：连接PM，PN，PP′．
    ∵P，M，N分别是AB，BC，AC的中点，
    ∴PN∥BC，PN=$\frac{1}{2}$BC，PM∥AC，PM=$\frac{1}{2}$AC．
    ∴四边形PMCN为平行四边形，
    ∵△ABC是等边三角形，
    ∴BC=AC，∠C=60°．
    ∴PM=PN，∠NPM=∠C=60°．
    ∵EP=EP′，∠PEP′=60°，
    ∴△PEP′是等边三角形．
    ∴∠EPP′=60°，PE=PP′．
    ∴∠EPP′=∠NPM．
    ∴∠EPM=∠NPP′．
    ∴△EPM≌△NPP′．
    ∴NP′=ME．

    点评 此题是几何变换综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是辅助线的作法．

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    ①矩形；②有一个角为直角的任意凸四边形；③有一个角为60°的菱形．
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