Question

如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，sin∠DCB=

4

5

，P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q．

（1）如果BP⊥CD，求CP的长；
（2）如果PA=PB，试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系；
（3）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）作DH⊥BC于H，如图1，利用矩形的性质得DH=4，BH=3，在Rt△DHC中，利用正弦的定义可计算出DC=5，再利用勾股定理计算出CH=3，则BC=BH+CH=6，然后证明Rt△DCH∽Rt△BCP，利用相似比可计算出PC=

18

5

；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，由于PA=PB，根据等腰三角形的性质得AE=BE=

1

2

AB=2，也可判断PE为梯形ABCD的中位线，所以PD=PC=

5

2

，PE=

1

2

（AD+BC）=

9

2

，于是得到EA+PC=PE，根据两圆外切的判定方法得到以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，根据垂径定理得CF=QF，设PC=x，则DP=5-x，先证明△CPF∽△CDH，利用相似比可计算出CF=

3x

5

，则CQ=2CF=

6x

5

，BQ=BC-CQ=6-

6x

5

，由PQ=PC得∠PQC=∠PCQ，而∠ADP+∠PCQ=180°，∠PQC+∠PQB=180°，所以∠ADP=∠PQB，然后讨论：当△ADP∽△BQP，根据相似的性质得

3

6- 6x 5

5-x

x

，解得x₁=

5

2

，x₂=10（舍去），得到PC=

5

2

；当△ADP∽△PQB，利用相似的性质得

3

x

=

5-x

6- 6x 5

，解得x₁=

18

5

，x₂=5（舍去），得到PC=

18

5

．

解答：解：（1）作DH⊥BC于H，如图1，
∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，
∴DH=4，BH=3，
在Rt△DHC中，sin∠DCH=

DH

DC

=

4

5

，
∴DC=5，
∴CH=

DC2-DH2

=3，
∴BC=BH+CH=6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=90°，
而∠DCH=∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴

DC

BC

=

CH

PC

，即

5

6

=

3

PC

，
∴PC=

18

5

；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA=PB，
∴AE=BE=

1

2

AB=2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD=PC，PE=

1

2

（AD+BC）=

1

2

（3+6）=

9

2

，
∴PC=

1

2

DC=

5

2

，
∴EA+PC=PE，
∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，
设PC=x，则DP=5-x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴

PC

CD

=

CF

CH

，即

x

5

=

CF

3

，解得CF=

3x

5

，
∴CQ=2CF=

6x

5

，
∴BQ=BC-CQ=6-

6x

5

，
∵PQ=PC，
∴∠PQC=∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ=180°，
而∠PQC+∠PQB=180°，
∴∠ADP=∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴

AD

BQ

=

DP

QP

，即

3

6- 6x 5

=

5-x

x

，
整理得2x²-25x+50=0，解得x₁=

5

2

，x₂=10（舍去），
经检验x=

5

2

是原分式方程的解．
∴PC=

5

2

；
当△ADP∽△PQB，
∴

AD

PQ

=

DP

BQ

，即

3

x

=

5-x

6- 6x 5

整理得5x²-43x+90=0，解得x₁=

18

5

，x₂=5（舍去），
经检验x=

18

5

是原分式方程的解．
∴PC=

18

5

，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为

5

2

或

18

5

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆与圆的位置关系和梯形的性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．