Question

在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换．一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．


【小题1】第一小组的同学发现，在如图1－1的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程是           ▲           ．
【小题2】第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图2－1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图2－2），这样能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少吗？请写出求解过程．
【小题3】第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3－1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图3－2．已知AH＝AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．

【小题4】探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:
如图4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，请利用图形变换探究S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'与的大小关系．

Answer 1

【小题1】将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC …………………………2分
（缺旋转中心或旋转角扣1分）
【小题2】连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，故BB'＝B'C，由翻折可得，
B'C＝BC，∴△BB'C为等边三角形．∴∠B'CB＝60°，
（或由三角函数FC：B'C＝1：2求出∠B'CB＝60°也可以．）
∴∠B'CG＝30°，∴∠B'GC＝60°………………………………………5分
【小题3】分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，∵△ABC中，BA＝BC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI．
在Rt△AHR中，AH＝AI＝4a，AH²＝HR²＋AR²，HR²＝a²，
则DP²＝FQ²＝HR²＝a²，
AD²＝AP²＋DP²＝6a²，AF²＝AQ²＋FQ²＝10a²，
新三角形三边长为4a、a、a．[来源:Z|xx|k.Com]
∵AH²＝AD²＋AF²   ∴新三角形为直角三角形．
其面积为aa＝a²．∵a²＜15 ∴a²＜15
（或通过转换得新三角形三边就是AD、AI、AI，即求△GAI的面积或利用△HAI与△HGI相似，求△HAI的面积也可以）
∴a的最大整数值为3．………………………………………………8分

【小题4】将△BOC'沿BB'方向平移2个单位，所移成的三角形记为△B'PR，
将△COA'沿A'A方向平移2个单位，所移成的三角形记为△AQR．
由于OQ＝OA＋AQ＝OA＋OA'＝AA'＝2，OP＝OB'＋B'P＝OB'＋OB＝BB'＝2．又∠QOP＝60°，则PQ＝OQ＝OP＝2，
又因为QR＋PR＝OC＋OC'，故O、R、P三点共线．因为S_△QOP＝，
所以S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'＝S_△AOB'＋S_△B'PR＋S_△PQA＜…………10分

解析