Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx经过点A（4，0）．直线x=2与x轴交于点C，点E是直线x=2上的一个动点，过线段CE的中点G作DF⊥CE交抛物线于D、F两点．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）当点E落在抛物线顶点上时，求DF的长．
（3）当四边形CDEF是正方形时，求点E的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A点的坐标代入抛物线的解析式，求出b的值即可得到抛物线的解析式；
（2）由（1）可知抛物线的顶点坐标，因为G是EC中点，由此可求出G的纵坐标，代入抛物线的解析式可求出F和D的横坐标，进而可求出DF的长；
（3）四边形CDEF是正方形时可设设E（2，2m），则F（2-m，m），把F点的坐标代入解析式即可求出m的值，进而可求出点E的坐标．

解答：解：（1）把（4，0）代入y=-x²+bx中，得b=4．
∴这条抛物线的解析式为y=-x²+4x．           

（2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为（2，4）．      
∵G是EC的中点，
∴当y=2时，-x²+4x=2．
∴x₁=2-

2

，x₂=2+

2

，．                  
∴DF=2+

2

-（2-

2

）=2

2

．                   

（3）设E（2，2m），则F（2-m，m）．                
∵点F在抛物线上，
∴m=-（2-m）²+4（2-m）．
∴m=

-1± 17

2

，2m=-1±

17

．             
∴E₁（2，-1+

17

），E₂=（2，-1-

17

）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程以及正方形的性质，题目的综合性较强，难度中等．