Question

5．如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E、F分别为线段BC、DE的中点，连接BF、AE交于点G．
（1）求线段BF的长度；
（2）求证：BG=GF．

Answer 1

分析 （1）过F作FM⊥BC于M，根据矩形的性质求出CD，求出FM=$\frac{1}{2}$DC=4，求出EM，根据勾股定理求出即可；
（2）延长BF、AD交于Q，过F作FW∥AD交AB于W，交AE于R，求出W为AB中点，R为AE中点，F为BQ的中点，根据三角形中位线求出FR，再证△DFQ∽△EFB，求出BE=DQ，求出FW，求出FR=BE，证△FRG∽△BEG，得出比例式，即可得出答案．

解答 （1）解：如图1：

过F作FM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=8，∠C=90°，
∴∠FMB=∠C=90°，
∴FM∥DC，
∵F位DE的中点，
∴M为EC的中点，
∴FM=$\frac{1}{2}$DC=4，
∵E位BC中点，M为CE中点，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×12$=6，EM=EC=3，
∴BM=6+3=9，
在Rt△BMF中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{{9}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{97}$；

（2）证明：如图2：

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，AD∥BC，
延长BF、AD交于Q，过F作FW∥AD交AB于W，交AE于R，
∵F为DE中点，AD∥BC，
∴W为AB中点，R为AE中点，F为BQ的中点，
∴WR=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}×6$=3，
∵AD∥BC，
∴△DFQ∽△EFB，
∴$\frac{DQ}{BE}$=$\frac{EF}{DF}$，
∵DF=EF，
∴BE=DQ=6，
∴WF=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}×$（12+6）=9，
∴RF=9-3=6=BE，
∵FW∥AD∥BC，
∴△FRG∽△BEG，
∴$\frac{FR}{BE}$=$\frac{FG}{BG}$，
∵BE=FR，
∴BG=GF．

点评 本题考查了三角形的中位线，矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．