Question

（6分）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接等边三角形ABC.黄皓、李明两位同学的作法分别是：

黄皓：1. 作OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点，

2. 连结AB，AC，△ABC即为所求的三角形.

李明：1. 以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点，

2. 连结AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形.

已知两位同学的作法均正确，请选择其中一种作法补全图形，并证明△ABC是等边三角形.

 

Answer 1

【答案】

△ABC是等边三角形，

【解析】

试题分析：由两同学的做法不同，一个根据三角形性质求得，另一个根据两圆的知识求得，但得到的三角形都为等边三角形。解：我选择黄皓的作法.

如图画图正确.        2分；

证明：连结OB、OC.

∵AD为⊙O的直径，BC是半径OD的垂直平分线，

∴AB=AC，BD=CD,

，    3分；

∴.          4分；

在Rt△OEC中，

∴ cos，

∴，    5分；

∴.

∴.

∴△ABC是等边三角形.     6分.

我选择李明的作法.

如图画图正确.        2分；

证明：连结DB、DC.

由作图可知：

DB=DO=DC，

在⊙O中，

∴OB=OD=OC，

∴△OBD和△OCD都是等边三角形，  3分；

∴ ，   4分；

∵，，

∴，

，      5分；

∴△ABC是等边三角形.       6分.

考点：等边三角形的定义，及做法。

点评：熟知等边三角形的定义及做法，线段的垂直平分线上的点到两端点距离相等，两圆相交圆心距等于一圆半径时，两圆心与两圆的交点构成的四边形是菱形。本题由一定的难度，但不大，属于中档题。