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已知直线y=kx-4(k>0)与x轴和y轴分别交于A、C两点;开口向上的抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点,且与x轴交于另一点B.
(1)如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO,点B到直线AC的距离等于
165
,求这条直线和抛物线的解析式.
(2)问是否存在这样的抛物线,使得tan∠ACB=2,且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5?若存在,求出这样的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
分析:(1)本题可通过构建直角三角形求解,过B作BE⊥AC于E,交y轴于D,可根据直线的解析式用k表示出OA、OB的长,即可得出AB的长,已知了BE的长度,可用勾股定理求出AE的长;
AE长的另一种表示方法:在直角三角形ABE中,∠BAE的正弦值正好是斜率k,因此可用∠BAE的正弦值即k和BE的长表示出AE,然后联立两个AE的表达式即可求出k的值.进而可求出直线的解析式和抛物线的解析式.
(2)已知了C点坐标,关键是确定抛物线的二次项系数和一次项系数.可用韦达定理来求解.已知了三角形ABC的外接圆(设圆心为P)截y轴的弦长为5,那么OD=1,根据相交弦定理可求出OA•OB的值,即可得出韦达定理中两根积的值,即可求出二次项系数的值.连AP、BP,过P作PE⊥x轴于E,PF⊥y轴于F.
根据垂径定理和圆周角定理不难得出∠ACB=∠APE,那么tan∠APE=2,据此可求出AE和AB的长,即可得出A、B横坐标差的绝对值,由此可求出一次项系数的值,即可确定抛物线的解析式.
解答:精英家教网解:(1)易知:A(
4
k
,0),
因此OA=
4
k
,OB=
4
3k
,B(-
4
3k
,0),
∴AB=
16
3k

过B作BE⊥AC于E,交y轴于D,在直角三角形ABE中,
AE=
AB2-BE2
=
(
16
3k
)
2
-(
16
5
)
2

根据直线AC的斜率可知:直角三角形ABE中,tan∠BAE=k,
因此AE=
BE
k
=
16
5k
,即:
(
16
3k
)
2
-(
16
5
)
2
=
16
5k

解得k=
4
3
(负值舍去).
∴直线的解析式为y=
4
3
x-4.
∴A(3,0),B(-1,0)
设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+1),
由于抛物线过C(0,-4),
则有:a(0-3)(0+1)=-4,a=
4
3

∴抛物线的解析式为y=
4
3
x2-
8
3
x-4.

(2)假设存在这样的抛物线,其解析式为y=ax2+bx-4.
设△ABC的外接圆圆心为P,连AP、BP,过P作PE⊥x轴于E,PF⊥y轴于F.
精英家教网∵圆P截y轴所得弦长为5,且过点A、B及C(0,-4).
∴圆P过点D(0,1)
∴P点在x轴下方,
∴CF=DF=
5
2
,PE=OF=4-
5
2
=
3
2

∵∠APE=
1
2
∠APB=∠ACB,
∴tan∠APE=
AE
PE
=tan∠ACB=2,
∴AE=2PE=3,
∴AB=2AE=6,
∵OA•OB=OC•OD,即-x1x2=4.
4
a
=4,a=1.
∴抛物线的解析式为y=x2+bx-4.
∵AB=6,
∴x1-x2=6.
∴(x1-x22=(x1+x22-4x1x2=b2+16=36.
∴b=±2
5

∴存在这样的抛物线y=x2±2
5
x-4.
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定,综合考查了一次函数的应用、三角形的外接圆等知识点,综合性强,难度较大.
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4
27
x2
+
22
3
交于点A(3,6).
(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
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平移
3
3
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