Question

11．设二次函数当x=3时，取最大值10，并且其图象在x轴上截得的线段长为4，求其解析式．

Answer 1

分析 利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0），利用二次函数的最大值问题得到抛物线的顶点坐标为（3，10），则可设交点式y=a（x-1）（x-5），然后把顶点坐标代入求出a即可．

解答 解：∵当x=3时，抛物线在x轴上截得的线段长为4，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0），
∵当x=3时，函数取最大值10，
∴抛物线的顶点坐标为（3，10），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
把（3，10）代入得a•2•（-2）=10，解得a=-$\frac{5}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{5}{2}$（x-1）（x-5），
即y=-$\frac{5}{2}$x²+15x-$\frac{25}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：利用抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）可设二次函数的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）．