Question

（2012•高淳县二模）销售甲、乙两种商品所得利润分别为y₁（万元）和y₂（万元），它们与投入资金u的关系式为y₁=

3

5

u

，y₂=

1

5

u．如果将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲商品的投资为x（万元）．
（1）求经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设

x

=t，试写出y关于t的函数关系式，并求出经营甲、乙两种商品各投入多少万元时使得总利润最大．

Answer 1

分析：（1）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（3-x）（万元），根据经验公式可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；
（2）利用配方法确定函数的对称轴，结合函数的定义域，即可求得总利润y的最大值．

解答：解：（1）由已知y₁=

3

5

x

，y₂=

1

5

（3-x），
∴y=y₁+y₂=

3

5

x

+

1

5

（3-x），
自变量x的取值范围为：0≤x≤3．     

（2）∵

x

=t，∴x=t²，
∴y=

3

5

t+

1

5

（3-t²）=-

1

5

t²+

3

5

t+

3

5

=-

1

5

（ t-

3

2

）²+

21

20

，
∴当t=

3

2

时，y取最大值．                              
由t=

3

2

得，x=

9

4

，∴3-x=

3

4

，
即：经营甲、乙两种商品分别投入

9

4

、

3

4

万元时，使得总利润最大．

点评：本题考查了函数模型的构建以及配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．