Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若DE=CE．
（1）求∠A的度数．
（2）若BC=5，求△BCE的周长．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，推出∠A=∠ABE，根据角平分线性质得出∠ABE=∠CBE，推出∠A=∠ABE=∠CBE，得出3∠CBE=90°，求出即可；
（2）解直角三角形求出CE、BE，即可求出答案．

解答：解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE，
∵DE=CE，∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠A=∠ABE=∠CBE，
∵∠C=90°，
∴3∠CBE=90°，
∴∠CBE=30°，
即∠A=30°；

（2）∵在△ECB中，∠C=90°，BC=5，∠CBE=30°，
∴CE=BC×tan30°=

5 3

3

，BE=2CE=

10 3

3

，
∴△BCE的周长是BC+CE+BE=5+

5 3

3

+

10 3

3

=5+5

3

．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，解直角三角形，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出∠CBE=30°，题目比较好，难度适中．