Question

如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G。

（1）求证：△ADE≌△CDE；
（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；
（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DA=DC，∠1=∠2=45°，DE=DE， ∴△ADE≌△CDE； （2）∵△ADE≌△CDE， ∴∠3=∠4， ∵CH⊥CE， ∴∠4+∠5=90°， 又∵∠6+∠5=90°， ∴∠4=∠6=∠3， ∵AD∥BG， ∴∠G=∠3， ∴∠G=∠6， ∴CH=GH， 又∵∠G+∠5=∠G+∠7=90°， ∴∠5=∠7， ∴CH=FH， ∴FH=GH； （3）存在符合条件的x值， 此时， ∵∠ECG>90°，，要使△ECG为等腰三角形，必须CE=CG， ∴∠G=∠8， 又∵∠G=∠4， ∴∠8=∠4， ∴∠9=2∠4=2∠3， ∴∠9+∠3=2∠3+∠3=90°， ∴∠3=30°， ∴。