Question

如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，BC=3，点E在线段AB上（与端点A，B不重合），过点E的直线EF交线段AD于点F，tan∠EFA=

2

5

（∠EFA为锐角）．

（1）记△CEF的面积为S₁，BE的长为x，求S₁与x的函数关系式；
（2）若点E在AB的中点处，点P是线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，M，N为垂足．记矩形PMCN的面积为S₂，请你设一个恰当的自变量x，求S₂与x的函数关系式；并确定面积S₂取得最大时P点的位置．

Answer 1

分析：（1）由tan∠EFA=

2

5

可以表示出AE、AF，从而可以DF，可以求出S₁=S_矩形ABCD-S_△AEF-S_△BEC-S_△CFD．
（2）作PG⊥AB于G，设PE=x，由tan∠EFA=

2

5

可以表示出AF，根据勾股定理可以求出EF，利用三角形相似就可以求出PG，GE，进而可以表示出PN、PM，根据矩形的面积就可以表示出S₂，最后化为顶点式就可以求出最值，从而确定P的位置．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC．∠A=∠B=∠D，
∵AB=1，BE=x，
∴AE=1-x，
∵tan∠EFA=

2

5

=

AE

AF

，
∴

2

5

=

1-x

AF

，
∴AF=

5-5x

2

，
∴DF=

1+5x

2

，
∴S₁=3-

3x

2

-

(1-x) × 5-5x 2

2

-

1× 1+5x 2

2

=

-5x2-x+6

4

（2）作PG⊥AB于G，设PE=x，
∵点E是AB的中点，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

，
∵tan∠EFA=

2

5

=

AE

AF

，
∴

1 2

AF

=

2

5

，
∴AF=

5

4

．
∴EF=

29

4

∵PG⊥AB，
∴△EPG∽△EFA，
∴

EP

EF

=

EG

AE

=

GP

AF

，
∴

x

29 4

=

EG

1 2

=

GP

5 4

，
∴EG=

2 29 x

29

，GP=

5 29 x

29

，
S₂=（3-

5 29 x

29

）（

1

2

+

2 29 x

29

）
=-

10

29

（x-

7 29

40

）²+

609

160

∴S2与x的关系式为：S₂=-

10

29

（x-

7 29

40

）²+

609

160

当S₂取得最大值时P点的位置是PE=

7 29

40

．

点评：本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理的运用，锐角三角函数的定义及运用．