【题目】已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长；
【答案】（1）见解析；（2）边AB的长为10.
【解析】
（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90°∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
（2）∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，
∴
=
=
=
=
.
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8.
设OP=x，则OB=x，CO=8x.
在Rt△PCO中，
∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8x，
∴x2=(8x)2+42.
解得：x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
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【题目】已知二次函数
的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有______．
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【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列三个判断中:①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；正确的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ①②③都不对
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【题目】如图，在ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=
，求AF的长．
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【题目】已知函数y=
为反比例函数．
（1）求k的值；
（2）它的图象在第 象限内，在各象限内，y随x增大而 ；（填变化情况）
（3）求出﹣2≤x≤﹣
时，y的取值范围．
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【题目】如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．
（1）求证:∠ACB+∠BAD=90°；
（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB．求证：AC=2DE.
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【题目】已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．
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【题目】如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，抛物线 y＝ax2+bx﹣c 与 x 轴的一个交点为（m，0）．
（1）若四边形ABCD是正方形，求抛物线y＝ax2+bx﹣c的对称轴；
（2）若 m＝
c，ac﹣4b＜0，且 a，b，c为整数，求四边形 ABCD的面积．
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【题目】如图，已知直线y＝﹣2x经过点P（﹣2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y＝
（k≠0）的图象上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出当y＜4时x的取值范围．
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