Question

4．如图，为一颗折叠的小桌支架完全展开后支撑在地面的示意图，此时∠ABC=90°，固定点A、C和活动点O处于同一直线上，且AO：OC=2：3，在支架的向内折叠收拢过程中（如箭头所示方向），△ABC边形为凸四边形AOCB，直至形成一条线段BO，则完全展开后∠BAC的正切值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{12}{13}$

Answer 1

分析 由AO：OC=2：3，设AO=2x、OC=3x、AB=y、BC=z，由AB²+BC²=AC²、BC+CO=AB+AO列出关于x、y、z的方程组，将x看做常数求出y=4x、z=3x，再由正切函数的定义求解可得．

解答 解：∵AO：OC=2：3，
∴设AO=2x、OC=3x，AB=y、BC=z，
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}+{z}^{2}=25{x}^{2}}\\{y+2x=z+3x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{y=4x}\\{z=3x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{z=-4x}\end{array}\right.$（舍），
在Rt△ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{z}{y}$=$\frac{3x}{4x}$=$\frac{3}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查解直角三角形，根据勾股定理和BC+CO=AB+AO得到直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．