Question

已知四边形ABCD，AB∥CD，且AB=AC=AD=a，BC=b，且2a＞b．求cos∠DBA的值．

Answer 1

分析：欲求∠DBA的余弦值，需将已知条件构建到一个直角三角形中求解；已知四边形ABCD中，AB=AC=AD；若以A为圆心，AB为半径作圆，则此圆必过C、D；延长BA交⊙A于E，则BE为⊙A的直径，连接DE，在Rt△BDE中，已知了BE=2a，需求出BD的长；根据DC∥AB，易证得DE=BC=b，则根据勾股定理即可求得BD的长，由此得解．

解答：解：以A为圆心，以a为半径作圆．延长BA交⊙A于E点，连接ED；（1分）
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA，∠DAE=∠CDA；
∵AC=AD，∴∠DCA=∠CDA，
∴∠DAE=∠CAB；（2分）
在△ABC和△DAE中，

AD=AC ∠DAE=∠CAB AE=AB

；
∴△CAB≌△DAE，（3分）
∴ED=BC=b（4分）
∵BE是直径，
∴∠EDB=90°
在Rt△EDB中，
ED=b，BE=2a，
由勾股定理得ED²+BD²=BE²
∴BD=

BE2-ED2

=

(2a)2-b2

=

4a2-b2

（5分）
∴cos∠DBA=

BD

BE

=

4a2-b2

2a

．（6分）

点评：此题主要考查了圆周角定理、勾股定理以及全等三角形的判定；能够通过辅助线构建出⊙A是解答本题的关键．