Question

半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在

AB

上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（2）当点P运动到

AB

的中点时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．

Answer 1

分析：（1）如果点P与点C关于AB对称，根据垂径定理可得出CP⊥AB，在直角三角形ABC中，根据△ABC面积的不同表示方法可求出CD的长，即可得出PC的值，进而可通过相似三角形△PQC和△ABC（∠A=∠P，一组直角）求出CQ的长．
（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）；由于P是弧AB的中点，由圆周角定理得∠ACP=∠PCB=45°，由△CEB是等腰直角三角形，可得CE=BE=

2

2

BC=2

2

；又由圆周角定理得∠CPB=∠CAB，由正切的概念知tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

=BE：PE，得到PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

BE=

3 2

2

进而求得PC，而从（1）中得，CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．
（3）如果CQ去最大值，那么PC也应该取最大值，因此当PC是圆O的直径时，CQ才取最大值．此时PC为5，可根据上面得出的PC、CQ的比例关系求出CQ的长．

解答：解：（1）当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AB=5，又∵BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3．
又∵

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD
∴CD=

12

5

，PC=

24

5

在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
Rt△ACB∽Rt△PCQ
∴

AC

BC

=

PC

CQ

，
∴CQ=

BC•PC

AC

=

4

3

PC=

32

5

．

（2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）．
∵P是弧AB的中点，
∴∠PCB=45°，CE=BE=

2

2

BC=2

2

又∠CPB=∠CAB
∴tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

∴PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

BE=

3 2

2

，PC=

7 2

2

而从（1）中得，CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．

（3）点P在弧AB上运动时，恒有CQ=

BC•PC

AC

=

4

3

PC；
故PC最大时，CQ取到最大值．
当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为

20

3

．

点评：本题属于常规的几何综合题，利用了直角三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正切的概念求解．解第3小问时要有动态的思想（在草稿上画画图）不难猜想出结论．